El Premio Abel 2022 ha recaído en este catedrático estadounidense que, con gran originalidad, ha resuelto importantes problemas topológicos en diversidad de aspectos: algebraicos, geométricos y dinámicos.
La topología es una rama de las matemáticas que trata especialmente de la continuidad y conceptos más generales originados de ella, como las propiedades de las figuras con independencia de su tamaño o forma. Por ejemplo, en topología un círculo y un cuadrado son la misma cosa –se puede deformar uno en otro– pero la superficie de la tierra y la de una rosquilla son diferentes, aunque esta última sí se podría transformar en una taza.
Una taza transformándose en una rosquilla (toro). / Lucas Vieira
El desarrollo de un lenguaje preciso y de herramientas para medir las propiedades de los objetos que no cambian cuando se deforman ha sido de incalculable valor en todas las ramas matemáticas y en otros campos, con aplicaciones en física, economía y ciencia de datos.
Por sus importantes aportaciones a la topología, este miércoles la Academia de Ciencias y Letras de Noruega ha concedido al matemático estadounidense Dennis P. Sullivan (Michigan, 1941) el Premio Abel 2022. Este galardón es conocido como el Nobel de las matemáticas y reconoce el trabajo de toda una carrera, a diferencia de la Medalla Fields que se concede a menores de 40 años.
Sullivan es catedrático en la Universidad de Stony Brook (EE UU) y, entre otros reconocimientos, en 2010 ganó el Premio Wolf en matemáticas (junto con Shing-Tung Yau). Ahora el jurado ha destacado “sus contribuciones innovadoras a la topología en su sentido más amplio y, en particular, a sus aspectos algebraicos, geométricos y dinámicos”.
Según explica a SINC el investigador Daniel Peralta-Salas del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), estos problemas que aborda Sullivan son diversos, “desde clasificación de cierto tipo de espacios hasta caracterizar dinámicas con unas u otras propiedades; y también las herramientas matemáticas que se usan son diferentes, algebraicas, analíticas o incluso de teoría de la probabilidad”.
El matemático estadounidense ha cambiado repetidas veces el panorama de la topología introduciendo nuevos conceptos, demostrando teoremas emblemáticos, dando respuesta a viejas conjeturas y formulando nuevos problemas que han impulsado avances en el campo. “Pasa de un área a otra sin esfuerzo aparente utilizando nociones algebraicas, analíticas y geométricas como todo un virtuoso”, según el jurado.
“Otro de los aspectos destacables de la carrera de Sullivan sería su originalidad: la forma en la que enfoca los problemas es diferente a como lo ven la mayoría de los matemáticos”, apunta Peralta-Salas, y pone un ejemplo: “En los años 70 del siglo pasado desarrolló una teoría revolucionaria, conocida como la teoría de los ciclos foliados de Sullivan”.
“Las aplicaciones de esta teoría a los sistemas dinámicos y a otras estructuras geométricas son innumerables –añade–. Por ejemplo, en un trabajo caracteriza los sistemas dinámicos que son geodésicos, esto es, para los que existe una métrica del espacio que convierte las orbitas del sistema en geodésicas”.
Figuras de su estudio sobre foliación de geodésicas. / Dennis Sullivan/Journal of Pure and Applied Algebra
“Usando un enfoque de análisis funcional abstracto fue capaz de unificar muchos resultados anteriores y aportar nuevas propiedades de sistemas dinámicos y de su generalización, las foliaciones”, indica Peralta-Salas.
Los primeros trabajos de Sullivan se centraron en la clasificación de las variedades, unos objetos que generalizan las curvas y superficies en más dimensiones. La clasificación de variedades, una de las cuestiones fundamentales en topología, busca construir un catálogo de todas ellas, de forma que, dada cualquier variedad, se pueda reconocer en esta lista. Para ello, estudió el problema desde una perspectiva de topología algebraica.
En el camino tuvo que inventar varias técnicas para resolver las cuestiones que iban surgiendo, algunas relacionadas con el número primo. “Sus ideas, exportadas del álgebra pura, dieron lugar a un nuevo lenguaje para expresar fenómenos geométricos y se han convertido en herramientas que permiten resolver numerosos problemas”, señala la nota de prensa que ha emitido la Academia Noruega de Ciencias y Letras al anunciar al premiado.
Otro de los avances de Sullivan fue el estudio de ‘lo que queda’ cuando se ignoran todos los números primos, la denominada teoría de la homotopía racional. El matemático estadounidense y su compatriota Daniel Quillen aportaron dos descripciones algebraicas completamente diferentes de lo que queda de un espacio en este entorno.
A estos resultados se suman numerosos conceptos, demostraciones de teoremas emblemáticos, respuestas a viejas conjeturas y formulación de nuevos problemas propuestos por Sullivan, “y también destaca su potencia mental: impresiona la profundidad de cada uno de sus comentarios, su capacidad para ver lo importante de un problema y cómo entiende las matemáticas en general”, concluye Peralta-Salas.
El Premio Abel lo concede anualmente la Academia Noruega de Ciencias y Letras desde 2003. Lo financia el gobierno de ese país y está dotado con 7,5 millones de coronas noruegas (unos 750 000 euros). Su nombre hace referencia al célebre matemático noruego Niels Henrik Abel, igual que las medallas Fields (que en julio se entregarán en Helsinki) honran a John Charles Fields.
Dennis Parnell Sullivan empezó a estudiar Química en la Universidad de Rice (EE UU), pero decidió cambiar a Matemáticas, sin saber que se convertiría en uno de los científicos más reconocidos de esta disciplina. Tras graduarse en 1963, realizó su doctorado en la Universidad de Princeton (EE UU), bajo la dirección de William Browder, sobre la clasificación de variedades. Un año después de finalizar su tesis, obtuvo un resultado sobre una importante conjetura de topología geométrica que lo llevó a recibir el Premio Oswald Veblen de geometría.
Sullivan ha ocupado puestos académicos en las universidades de Warwick (Reino Unido) y Berkeley (EE UU), en el Instituto de Tecnología de Massachusetts, el MIT (EE UU), en el Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS, Francia) y en la Universidad de la Ciudad de Nueva York (EE UU). En su periodo en el MIT escribió un conjunto de artículos inéditos que, pese a no estar publicados en ningún sitio, comenzaron a circular hasta alcanzar una gran influencia. El impacto a largo plazo de estas ideas fue enorme y las llamadas ‘notas del MIT’ fueron publicadas finalmente en 2006. En Francia logró uno de sus avances más importantes: la nueva forma de entender la teoría de la homotopía racional, subcampo de la topología algebraica, introducido en 1969 por Daniel Quillen.
En 1981, Sullivan se convirtió en catedrático de la Universidad de la Ciudad de Nueva York (EE UU), puesto que compaginó con su cátedra en el IHÉS. A fines de la década de 1970, empezó a abordar problemas de un campo totalmente diferente: los sistemas dinámicos. En esta área obtuvo importantes resultados, como la demostración de la universalidad de las constantes de Feigenbaum o la prueba de que las aplicaciones racionales no tienen dominios errantes. En 1997, obtuvo la cátedra en la Universidad Estatal de Nueva York, en Stony Brook, y volvió a la topología.
Entre sus principales galardones se incluyen el primer Premio Élie Cartan del Instituto de Francia (1981), el Premio Internacional Rey Faisal de Ciencias (1993), la Medalla Nacional de Ciencias de los Estados Unidos (2005), el Premio Leroy Steele de la Sociedad Americana de Matemáticas (AMS, por sus siglas en inglés) en la categoría Lifetime Achievement (2006), el Premio Balzan de Matemáticas (2014) y el Premio Wolf de Matemáticas (2010). Es miembro de la Academia Nacional de Ciencias de EE UU, la Academia de Ciencias de Nueva York (EE UU) y la Academia Americana de Artes y Ciencias, y fue vicepresidente de la AMS entre 1990 y 1993.
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