Nigel Hitchin (Holbrook, Reino Unido, 1946) es el padre de múltiples descubrimientos matemáticos que llevan su nombre. Hace quince años, durante un puente lluvioso del 1 mayo en Madrid, gestó la geometría generalizada que ahora se utiliza como una importante herramienta en teoría de cuerdas. Hablamos con él en el Instituto de Ciencias Matemáticas, donde ha celebrado su 70 cumpleaños rodeado de las ideas inspiradoras de sus discípulos.
El británico Nigel Hitchin ha sido homenajeado recientemente en Madrid coincidiendo con su 70 cumpleaños con una serie de conferencias impartidas por sus discípulos en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), donde cuenta con su propio laboratorio. Desde 1997, ocupa el puesto de catedrático Savilian de Geometría en la Universidad de Oxford y este año ha recibido el Premio Shaw en Ciencias Matemáticas –considerado como el Nobel oriental– por ser uno de los mayores referentes en geometría diferencial y algebraica y por su relación con la física teórica.
Numerosos objetos matemáticos llevan su nombre: las ecuaciones autoduales de Hitchin –cuyas soluciones se denominan fibrados de Higgs–, el sistema integrable de Hitchin, la conexión de Hitchin sobre el espacio de Teichmüller y el teorema de Atiyah-Hitchin-Singer, entre otros.
¿Desde cuándo se sintió fascinado por las matemáticas?
Creo que fue cuando estaba en secundaria. Inicialmente no eran algo que considerara tan importante. Mi padre era químico y mi hermano mayor estaba más interesado en ciencia e ingeniería. Con 15 o 16 años empecé a destacar en matemáticas. Aun así pensé estudiar ingeniería, pero me di cuenta de que las matemáticas estaban más cerca de mi corazón y que había muchas más cosas que quería aprender.
¿Hubo algún profesor que le influyera más en esos inicios?
En Oxford, donde fui a la universidad, cada semana había tutoriales alternativos, uno con el tutor de matemáticas aplicadas y el siguiente con el de matemáticas puras. Pese a que me considero un matemático puro, me sentía más cerca del aplicado porque tenía un enfoque muy claro y limpio. Para mí es importante que las cosas encajen bien. A veces tienes que hacer mucho trabajo sucio, pero las matemáticas deben expresarse de una forma elegante para que otra gente las pueda entender. Aunque eran matemáticas aplicadas, la forma en la que enseñaba este profesor, llamado Christopher Bradley, me cautivó. Bradley acabo siendo profesor de secundaria. Supongo que para él la forma de comunicar las matemáticas era más importante que las matemáticas en sí mismas.
Después de tantos años, ¿cómo encuentra nuevas ideas e inspiración?
La inspiración es difícil de describir y viene de muy diversas fuentes. Ahora, por ejemplo, al escuchar conferencias puede aparecer la inspiración. No es que estés robando ideas. Lo que ves en la pizarra y escuchas provoca que a veces ‘suene la campana’ y pienses en algo nuevo. Una sala llena de matemáticos que hablan y argumentan es un buen ambiente para generar ideas que tal vez no están relacionadas directamente con lo que se habla. Pero normalmente cuando resuelves un problema se crean otros que piden respuesta. Y a veces la inspiración viene de otras disciplinas.
Como la física, por ejemplo…
Sí, durante mi carrera he sido muy afortunado por haber tenido mucho contacto con físicos. Ellos tienen puntos de vista muy diferentes de los matemáticos, aunque sean físicos muy teóricos. Por ejemplo, piensan en términos de teoría cuántica de campos y cada vez que dirigen su atención a un problema de matemáticas puras, la manera en la que lo interpretan está condicionada por su aprendizaje. A menudo, he dependido de la mirada de los físicos. Su intuición ayuda a formular problemas matemáticos.
Una de sus más aportaciones más importantes son los fibrados de Higgs, que tienen gran relación con la física. ¿Cómo se gestó esta teoría?
Uno de los participantes en la conferencia que hemos celebrado en el ICMAT ha sido el matemático indio M.S. Narasimhan, que ahora tiene 84 años. En los 60 planteó la teoría de fibrados vectoriales sobre curvas. En los 70 y 80 hubo nuevos puntos de vista sobre este tema. El primer teorema de Simon Donaldson –uno de mis estudiantes de doctorado, que ganó una medalla Fields– consistió en volver a probar el teorema original de Narasimhan y Seshadri usando nuevos métodos analíticos.
Por esta época comenzó la influencia de la física en matemáticas. Estábamos estudiando problemas que involucraban objetos de las teorías de gauge, implicadas en el modelo estándar de la física de partículas. Estas ideas comenzaron a ser absorbidas por varias ramas de las matemáticas. Yo estaba estudiando varios problemas que venían de la física; uno de ellos, relacionado con monopolos magnéticos, involucraba un campo extra llamado campo de Higgs. Adapté este método al estudio de fibrados vectoriales y suministré un componente extra.
¿Qué repercusión tuvieron esos avances matemáticos sobre el campo de Higgs?
Al principio no me di cuenta de lo útil que iba a ser, pero seguí investigando. Fueron meses en los que cada día descubría algo nuevo. En 1987, escribí un trabajo largo [The self-duality equations on a Riemann surface] en la revista Proceedings of the London Mathematical Society con estos temas. El campo de Higgs en matemáticas está vinculado a un objeto que de alguna forma juega el mismo rol que en física, relacionado con lo que se llama ruptura de simetría.
¿Y cómo funciona esta ruptura de simetría en matemáticas?
En el modelo estándar de la física de partículas, el campo de Higgs rompe la simetría y de ello se obtiene masa. En mi teoría de fibrados de Higgs, la ruptura de la simetría en matemáticas introduce cierta irregularidad. A veces, lo que necesitas cuando el problema es muy homogéneo –y por tanto más impenetrable– es traer este objeto extra que rompe la simetría y te permite abrir nuevos caminos para resolverlo.
¿Cuáles son sus principales aplicaciones?
Gran parte de las aplicaciones pertenecen a las matemáticas puras, pero en los últimos diez años los teóricos de cuerdas se han dado cuenta de que el espacio moduli de Hitchin juega un papel en la teoría cuántica de campos y es un buen terreno de prueba para analizar la dualidad entre el nivel cuántico y la carga eléctrica y magnética. Se puede decir que son físicos mirando una pieza de matemáticas para detectar algo que encaje en sus nociones preconcebidas sobre teoría cuántica de campos.
Otra de sus contribuciones es la geometría generalizada, que nació en Madrid…
Sí, esta teoría se me ocurrió aquí hace quince años, durante una estancia universitaria. Vine con intención de escribir un libro que nunca escribí [risas]. Estaba dándole vueltas a algo que había escuchado en una conferencia hacía unas semanas. Era la semana del primero de mayo. Ya sabe que en esas fechas hay varios días de vacaciones, en la universidad todo estaba cerrado y no paraba de llover, así que me centré en trabajar. En unos días me di cuenta de que las cosas encajaban.
Y ahora está teniendo impacto como una herramienta importante en teoría de cuerdas…
Empecé mirando algo que tenía una estructura matemática y, cuanto más miraba, más reconocía objetos que antes había visto en la literatura física. Me di cuenta de que había objetos que desempeñan un rol particular en teoría de cuerdas y vi que algo en mi geometría generalizada también representaba eso.
Usted ha tenido más de 40 estudiantes de doctorado. ¿Cuál es el consejo más valioso que puede darles?
Trato de darles un tema que pueda resolverse en tres o cuatro años. Yo tampoco sé cómo resolverlo y eso es parte del problema. Sus tesis no deben ser puramente abstractas, siempre les ayudo a construir el problema a través de ejemplos que demuestren que hay un marco más general en el que hacer descubrimientos.
Me gusta que mis estudiantes tengan una mente abierta para buscar información de varias fuentes. También procuro darles consejos prácticos. Hacer investigación es como irte de viaje, nunca sabes cuánto equipaje llevar contigo. Aunque tengan que afrontar un problema que requiere consultar un montón de estudios, no se debe intentar abarcarlo todo. Deben poseer un conocimiento amplio, pero selectivo.
Parece que usted sí les da un buen equipaje para ese viaje…
No sé, eso espero. Creo que necesitan estar equipados para su futuro trabajo en la vida académica y aprender a respetar a los matemáticos del pasado, que ya apenas se estudian pero pueden ayudarles en su investigación actual.
¿Y usted recurre a menudo a los matemáticos clásicos?
Sí, claro. En mi trabajo empleo nuevas herramientas, pero me enfrento a problemas clásicos. Es muy gratificante cuando te das cuenta de que puedes hacer alguna contribución a algo que se planteó largo tiempo atrás, antes de las técnicas modernas o las que se derivan de la física actual.
¿Le sorprenden a menudo sus alumnos de doctorado?
Sí, muchos me han sorprendido. A veces las tesis de los estudiantes te permiten reconocer su talento, y otras veces las elecciones que hacen les frenan. Recuerdo en particular el caso de un estudiante cuyo problema consistía en probar que un objeto conjetural no existía. Cada vez que lo argumentaba, encontrábamos fallos. Me fui a pasar un año sabático y empezó a hablar con otro matemático que le sugirió que tal vez ese objeto sí existía. Entonces revisó todos sus argumentos previos y les dio la vuelta para que fueran positivos. Al final, construyó aquel objeto en el que no creíamos.
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